APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS A LA BIOLOGÍA[KS1] 

 

·         Si e=f(t) nos da la posición de un móvil respecto al tiempo, entonces      v=f '(t) nos da la velocidad de ese móvil en cada instante.

·         Si v=g(t) nos da la velocidad de ese móvil en función del tiempo, entonces a=g'(t) nos da su aceleración.

·         En general, si f(t) da la variación de una variable respecto al tiempo, entonces f '(t) da la rapidez con que varía esa variable al transcurrir el tiempo.

EJERCICIOS

1.    Consideremos de nuevo el ejemplo del autobús que viene en el libro en la página 302.
Ahora sabemos más y podemos resolver mejor el problema.

                                                                                           

Esta era la situación del movimiento del autobús y de los cuatro viajeros en función del tiempo:

Ecuaciones de movimiento del: Autobús Viajero (1) Viajero (2) Viajero (3) Viajero (4) Donde e es el espacio en metros y t el tiempo en segundos.

a) ¿En qué instante[KS2]  llegan a la parada los viajeros 1 y 2?

b) ¿A qué distancia[KS3]  se encuentran de la parada los viajeros 3 y 4, cuando arranca el autobús de la parada?
c) ¿En qué instante y a qué distancia de la parada se encuentran cada uno de los cuatro viajeros con el autobús? (Hay que mirar en la gráfica y también haciendo cálculos con las ecuaciones dadas)
d) Calcula la velocidad tanto del autobús, como de cada viajero, en cada instante calculando la derivada de cada función espacio
e) Deduce qué viajero alcanza el autobús "suavemente" y cuál no.

Solución al problema del autobús

0      El viajero 1 llega a la parada a los 7 seg de haber arrancado el autobús, y el 2 a los 10 seg. Además de verlo en la gráfica se puede deducir haciendo y=0 en las ecuaciones de movimiento de cada uno.  e=0, t=7 seg  e=0, t=10 seg b) El viajero 3 se encuentra a 96 metros de la parada cuando arranca el autobús, y el 4 a 95 m. Además de verlo en la gráfica se puede deducir haciendo t=0 en las ecuaciones de movimiento de cada uno.  t=0, o cualquier valor de t, e=96, distancia = 96 m , t=0, e=95 m, distancia = 95 m c) Resolviendo el sistema entre la ecuación del autobús y la del viajero[KS4] [KS5]  1 encontraremos que una de las soluciones es t=11 seg, y se puede comprobar en la figura que es el instante donde se encuentran sus gráficas. O sea, el viajero 1 alcanza al autobús a los 11 seg de haber arrancado. d) Ecuaciones[KS6]  de movimiento del: Derivada=velocidad Autobús Viajero 1 Viajero 2 Viajero 3 Viajero 4 e) Como ya conocemos en qué instante alcanza cada viajero al autobús, calculando la velocidad en dichos instantes y comparándola con la del autobús podremos saber la respuesta. Viajero instante de alcance velocidad viajero velocidad bus razón velocidades 1 11 seg e’(11)=5.35 m/s e’(11)=3.9 m/s 5.35/3.9=1.37 2 15 seg e’(15)=8 m/s e’(15)=5.3 m/s 8/5.3=1.5 3 23 seg e’(23)=0 m/s e’(23)=8.2 m/s 0/8.2=0 4 23 seg e’(23)=4.3 m/s e’(23)=8.2 m/s 4.3/8.2=0.52 Lo ideal es que el viajero vaya a la misma velocidad que el autobús en el momento del alcance, por tanto la razón de velocidades debería ser 1. El viajero que lo coge más suavemente es el 1 pues esta razón es la más próxima a 1. Le sigue el 2. Al 4 le costará bastante, pero el que corre verdadero peligro si lo intenta es el 3. Este viajero ha permanecido quieto (vel=0) a 96 metros de la parada, esperando que pase por allí el autobús, pero éste ya va muy rápido al pasar. El viajero 4, que estaba a 95 metros de la parada ha corrido en dirección a la parada, y se ha vuelto para correr en la misma dirección del autobús y coger velocidad para el momento del alcance.